world of technology: 2019

APLIKASI ALJABAR LINEAR DALAM KEHIDUPAN SEHARI- HARI

Makalah ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu tugas kelompok mata kuliah Aljabar Linear II

Dosen Pembimbing: Irma Yunita, M.Kom.

Disusun oleh:

Latifatul Hasanah

NPM : 2018303047

PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI INFORMASI

UNIVERSITAS IBRAHIMY

SUKOREJOSITUBONDO

2018/2019

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan nikmat iman, islam, taufik, hidayah serta inayah-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Penerapan dan Kontribusi Logika Matematika dalam Kehidupan sehari- hari, Islam, dan pendidikan Islami”.

Makalah ini disusun tidak lepas dari bantuan dan bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu kami mengucapkan terima kasih kepada:

1. Irma yunita M.Kom selaku dosen mata kuliah “Aljabar Linear II” sekaligus pembimbing makalah ini, yang bijaksana, penuh perhatian dan kesabaran.

2. Kedua orang tua tercinta yang selalu memberikan bimbingan dan doa restunya.

3. Teman- teman yang telah membantu dan memberi masukan dalam menyelesaikan makalah ini.

Kami menyadari makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, semua ini mengingat keterbatasan yang kami miliki. Oleh karena itu kami mengharap kritik dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak demi perbaikan yang akan datang.

Semoga makalah ini bermanfaat bagi penyusun khususnya dan pemerhati pendidikan pada umumnya dan semoga merupakan salah satu bentuk pengabdian kita kepada Allah SWT.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Sukorejo,23 September 2018

Penyusun

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL............................................................................................................... 1

KATA PENGANTAR ............................................................................................................ 2

DAFTAR ISI .......................................................................................................................... 3

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................................... 4

A. Latar Belakang Masalah .......................................................................................... 4

B. Tujuan Penulisan Makalah....................................................................................... 4

C. Rumusan Masalah..................................................................................................... 4

BAB II PEMBAHASAN MASALAH ..................................................................................... 5

A. Definisi Aljabar Linear............................................................................................ 5

B. Aplikasi Aljabar Linear dalam Kehidupan Sehari- hari............................................ 5

C. Hubungan aljabar Linear dengan Tuhan YME......................................................... 11

PENUTUP............................................................................................................................. 12

A. Simpulan.................................................................................................................. 12

B. Saran........................................................................................................................ 12

DAFTAR PUSTAKA.............................................................................................................. 13

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Tanpa disadari, kita sering menggunakan perhitungan aljabar dalam kehidupan sehari-hari. Banyak manfaat yang dapat diambil. Kita bisa dengan cepat menyelesasikan masalah persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, masalah aritmetika sosial, bahkan kita juga bisa menggunakan perbandingan untuk menyelesaikan suatu masalah. Misalnya saja ada seorang developer yang ingin membeli tanah untuk membangun perumahan, developer itu bisa memperkirakan berapa luas tanah yang harus dibeli, dan berapa jumlah rumah yang harus dibangun supaya bisa mendapat keuntungan. Kejadian-kejadian seperti itu dapat kita perhitungkan dengan menerapkan aljabar. Materi-materi yang bisa diterapkan yaitu tentang PLSV dan PtLSV dalam menentukan model matematika dari masalah yang mau kita cari pemecahan masalahnya, kemudian tinggal ditentukan penyelesaiannya.

B. TUJUAN PENULISAN MAKALAH

1. Memahami definisi Aljabar Linear.

2. Memahami aplikasi Aljabar Linear dalam kehidupan sehari- hari.

3. Memahami hubungan Aljabar Linear dengan Tuhan YME.

C. RUMUSAN MASALAH

Bagaimanakah aplikasi Aljabar Linear dalam kehidupan sehari- hari?

BAB II

PEMBAHASAN MASALAH

A. DEFINISI ALJABAR LINEAR

Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang memiliki arti "pertemuan", "hubungan" atau "perampungan". Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila A mempunyai x buku dan kemudian B mempunyai 3 buku lebih banyak daripada A, maka dalam aljabar, buku B dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan aljabar, kita dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.

Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Aljabar secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat. Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Aljabar linier merupakan cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.

Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada sekedar Aljabar Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan sebagainya. Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).

B. APLIKASI ALJABAR LINEAR DALAM KEHIDUPAN SEHARI- HARI

1. Mencari Persamaan Garis Melalui Dua Buah Titik

Misalkan diberikan dua titik yang berlainan dalam bidang, maka ada secara unik sebuah garis yang melalui kedua titik tersebut. Misalkan saja kedua titik tersebut adalah (a,b) dan (c,d), maka kita memperoleh 3 sistem persamaan. Dimana persamaan pertama adalah persamaan garis secara umum, sehingga menurut teorema haruslah determinan sistem adalah nol. Maka kita dapatkan Hasil persamaanya didapatkan dengan perhitungan determinan. Hal serupa bisa kamu terapkan untuk mencari persamaan lingkaran, tapi untuk mencari persamaan lingkaran kamu membutuhkan tiga titik yang iketahui.

2. Mencari Orbit Sebuah Asteroid

Berikut teorema dalam mata kuliah dasar aljabar linier yang digunakan untuk menentukan orbit dari subuah asteroid. Teorema : Sebuah sistem linier homogen yang terdiri dari sejumlah persamaan yang banyaknya sama dengan banyaknya bilangan yang tidak diketahui akan mempunyai pemecahan tak trivial jika dan hanya jika determinan dari sistem tersebut adalah nol.

Hubungan lintasan Asteroid dengan teorema diatas menurut hukum Kepler (tepatnya hukum pertama Kepler), lintasan asteroid berbentuk elips. Jika garis membutuhkan 2 titik untuk mendapatkan persamaannya, dan lingkaran membutuhkan 3 titik, sedangkan persamaan kerucut (parabola, hiperbola atau elips) dibutuhkan 5 titik untuk menemukan persamaannya.

Misalkan seorang ahli astronomi ingin menentukan lintasan asteroid di sekitar matahari. Dia perlu membangun sebuah sistem koordinat Cartesian di dalam lintasan tersebut dengan matahari berada di titik asal koordinat. Satuan-satuan digunakan sebagai ukuran sepanjang sumbu koordinat ( 1 astronomi = jarak rata-rata dari bumi ke matahari = 93 juta mil). Oleh karena itu dia membutuhkan 5 pengamatan dari asteroid yang ingin dicari lintasan tersebut, tentu pada 5 waktu yang berbeda. Misalkan dia mendapatkan 5 titik yakni: (8.025, 8.310), (10.170, 6.355), (11.202, 3.212), (10.736, 0.375), (9.092, -2.267). Seperti yang kita tahu persamaan elips seperti itu. Langsung saja kita akan mendapatkan determinan dari sistem liniernya sama dengan nol Yang kemudian didapatkanlah persamaan lintasan (orbit) suatu asteroid itu.

3. SAP

SAP adalah salah satu program untuk menganalisa struktur konstruksi yang banyak digunakan. Penggunaannya cukup sederhana. Akan tetapi penggunaannya tetap harus diimbangi dengan pengetahuan dasar pemakain program dan pengetahuan teknik sipil.

Dalam program SAP menggunakan diagram kartesius dan bertiga dimensi X,Y,Z. serta menggunakan vektor untuk menggambarkan pembebanan-pembebanan serta desain-desainnya pun menggunakan vektor. Perhitungan-perhitungannya pun kerap menggunakan aljabar linier sebagai dasar dari program tersebut, jadi tidak dapat dipungkiri bahwa aljabar linier kerap hubungannya dengan keteknik sipilan.

4. Program AutoCAD

AutoCAD merupakan sebuah program yang biasa digunakan untuk tujuan tertentu dalam menggambar serta merancang dengan bantuan komputer dalam pembentukan model serta ukuran dua dan tiga dimensi atau lebih dikenali sebagai “Computer-aided drafting and design program” (CAD). Program ini dapat digunakan dalam semua bidang kerja terutama sekali dalam bidang-bidang yang memerlukan keterampilan khusus seperti bidang Mekanikal Engineering, Sipil, Arsitektur, Desain Grafik, dan semua bidang yang berkaitan dengan penggunaan CAD.

Program gambar AutoCAD adalah aplikasi dengan basis vektor, jadi materi gambar yang muncul pada dasarnya adalah susunan dari garis-garis lengkung dan lurus.

AutoCAD memiliki program terukur yang ditampilkan dengan adanya sumbu kartesius (X,Y), di mana sumbu X ke arah kanan, dan sumbu Y ke arah atas. Titik x dan y yang ditetapkan pada posisi (0,0) berada di sudut kiri bawah dari tampilan gambar. AutoCAD juga memiliki program terukur berkaitan dengan sudut putaran. Besaran sudut itu ditentukan dengan arah ke kanan dari titik pusat lingkaran menuju ke arah yang berlawanan dengan putaran jarum jam. Dengan demikian besar sudut 0 derajat ada di sisi kanan, 90 berajat ada di sisi atas, 180 derajat ada di sisi kiri dan 270 derajat ada di sisi bawah. AutoCAD juga memiliki satuan metrik untuk menentukan garis dengan nama ’unit’. Satuan ini bersifat relatif dan dapat dikonversikan dalam skala yang sesuai dengan keinginan. Satu unit di dalam AutoCAD dapat ditentukan dengan konversi ukuran meter, centimeter, kilometer dan seterusnya.

Tanda koma ’,’ dan tanda titik ’.’ di dalam AutoCAD berperan penting untuk membedakan angka desimal dan jenis sumbu kartesius. Tanda koma (,) digunakan untuk menetapkan sumbu kartesius berdasarkan posisi (X,Y), misalnya (10,7) akan dibaca dengan ketetapan 10 unit pada sumbu X dan 7 unit pada sumbu Y. Jika yang diinginkan dari penulisan angka ’10,7’ tersebut adalah 10 meter ditambah 7 cm, maka penulisannya dengan tanda titik (.) yaitu : 10.7 meter. Jadi ketika menginginkan adanya posisi 5 meter 4 cm pada sumbu X dan 8 meter 6 cm pada sumbu Y, maka penulisannya adalah (5.4,8.6). Semua program dalam autocad erat hubungannya dengan aljabar linier karena vektor masuk dalam aljabar linier dan apa-apa yang ada pada autocad berbasis vektor.

5. Penerapan vector dalam kehidupan sehari-hari

Vektor menyatakan arah dan besar suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.Contohnya:

a. Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.

b. Saat perahu menyebrangi sebuah sungai, makan kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.

c. Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busunya sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut.

d. Pesawat terbang yang ingin terbang dan mendarat menggunakan metode vekto, sehingga ketika turun tidak langsung jatuh kebawah, tapi melalui arah vektor yang disesuaikan. Dengan demikian orang-orang yang berada didalamnya pun tidak jatuh atau terombang-ambing.

e. Metode vektor juga diaplikasikan terhadap orang yang sedang bermain layang-layang. Sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan. Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor.

f. Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya vektor, sehingga anaak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.

g. Seorang pilot pada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang dihubungkan dengan cara vektor, sehingga seorang pilot yang mengemudi tidak salah arah atau berpindah di tempat yang tidak diinginkan.

h. Sistem Navigasi Pesawat Terbang. Semua pesawat terbang dilengkapi dengan sistem navigasi agar pesawat tidak tersesat dalam melakukan penerbangan. Panel-panel instrument navigasi pada kokpit pesawat memberikan berbagai informasi untuk sistem navigasi mulai dari informasi tentang arah dan ketinggian pesawat. Pengecekan terhadap instrumen sistem navigasi harus seteliti dan seketat mungkin. Sebagai contoh kejadian yang menimpa pesawat Adam Air pada bulan pebruari 2006 sewaktu menjalani penerbangan dari bandara Soekarno Hatta menuju bandara Hasanudin di Makasar. Ketidak telitian pihak otoritas penerbangan yang mengijinkan pesawat Adam Air terbang dengan sistem navigasi yang tidak berfungsi menyebabkan Pesawat Adam Air berputar-putar di udara tanpa tahu arah selama tiga jam, sebelum mendarat darurat di bandara El Tari Nusa Tenggara Timur. Kesalahan akibat tidak berfungsinya system navigasi adalah kesalahan yang fatal dalam dunia penerbangan. Sanksi yang diberikan adalah dicabutnya ijin operasi bagi maskapai penerbangan yang melanggar.

i. Penerapan Penjumlahan Vektor. Ketika perahu menyeberangi sungai maka kecepatan gerak perahu sesungguhnya merupakan penjumlahan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.

j. Penerapan Pengurangan vektor. Jika kita menghitung perpindahan yang dialami benda yang bergerak maka, kita akan melakukan proses pengurangan vektor posisi benda akhir dikurangi vektor posisi benda sebelum bergerak. Tentu saja vektor posisi benda ditentukan dulu setelah adanya titik acuan.

k. Penerapan perkalian vektor.

1) Perkalian titik misalnya perkalian antara gaya dorong dengan perpindahan. 2) Perkalian silang misalnya perkalian antara kuat arus listrik dengan medan magnet.

l. Penerapan vektor dalam soal-soal fisika

1) Gaya tegang tali yang menopang benda tergantung pada tali tersebut, membentuk dua vektor gaya yang saling seimbang (diam)
T=w

2) Benda yang digantung dengan tiga tali berikut, mengakibatkan keseimbangan gaya. gaya kebawah (berat benda) sama dengan jumlah gaya ke atas ( T1 sin beta ditambah T2 sin alfa). Gaya ke kiri (T1 cos beta = T2 cos alfa).....

3) Benda yang terletak di atas bidang miring, maka penyebab benda tersebut turun adalah komponen gaya berat searah bidang miring. Sedangkan besarnya gaya normal sama dengan komponen gaya berat tegak lurus bidang miring. Penyelesaian masalah ini mengharuskan penguraian vektor gaya berat menjadi dua komponen gaya yang saling tegak lurus.

4) Arah gerak perahu merupakan resultan dari dua vektor kecepatan yaitu kecepatan perahu dan kecepatan air

5) Usaha oleh gaya sehingga sebuah benda berpindah. Dalam hal menghitung usaha, maka gaya yang membentuk sudut tertentu terhadap bidang datar harus disearahkan dulu (di uraikan ke sumbu mendatar) sebelum dikalikan dengan vektor perpindahan.

6) Memprediksi arah gerak suatu benda yang dipengaruhi dua gaya tidak segaris, pertama anda harus menguraikan gaya yang tidak segaris dengan perpindahan, kedua membandingkan besar gaya ke kanan (hasil penguraian) dan ke kiri. Anda akan peroleh resultan gaya, dari resultan tersebut diketahui arah perpindahannya.

m. Vektor Dalam Geometri.Dalam geometri, sebuah sistem koordinat adalah suatu sistem yang menggunakan satu atau lebih angka, atau koordinat, untuk menentukan posisi titik atau elemen geometris. Urutan koordinat sangat signifikan dan mereka kadang-kadang diidentifikasi oleh posisi mereka dalam suatu tuple, seperti dalam ‘x-koordinat’. Dalam matematika dasar koordinat yang dianggap bilangan real, tetapi dalam aplikasi yang lebih maju koordinat dapat diambil untuk bilangan kompleks atau unsur-unsur dari sistem yang lebih abstrak seperti ring komutatif. Penggunaan sistem koordinat memungkinkan masalah dalam geometri untuk diterjemahkan ke dalam masalah tentang angka dan sebaliknya, ini adalah dasar dari geometri analitik.

n. Vector Dalam Topologi. Topologi (dari bahasa Yunani τόπος, “tempat”, dan λόγος, “ilmu”) merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Dalam penerapannya pada fisika, ruang vektor topologi (juga disebut ruang topologi linier) merupakan salah satu struktur dasar diselidiki dalam analisis fungsional. Seperti namanya ruang memadukan struktur topologi (struktur yang seragam dan harus tepat) dengan konsep aljabar dari ruang vektor. Unsur-unsur ruang vektor topologi biasanya fungsi atau operator linear yang bekerja pada ruang vektor topologi, dan topologi sering didefinisikan sehingga untuk menangkap gagasan tertentu konvergensi urutan fungsi.

O. Aplikais Vektor dalam Ruang Euklidian. Vektor di dalam n-Ruang, Definisi: Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruang dan dituliskan sebagai Rn. Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini. Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda: ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vektor, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vektor. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vektor umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0, 1, 6) antara poin dalam R5 atau vektor pada R5.Contoh Penggunaan vector dalam ruang dimensi tinggi: 1) Data Eksperimen –Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vektor y = (y1, y2,..., yn) dalam Rn dalam setiap y1, y2,...., yn adalah nilai yang terukur. 2) Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vektor dalam R4 dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v1, v2, v3, v4) dalam R4 ke vektor keluaranw = (w1, w2, w3) dalam R3. 3) Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x, y, h, s, b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h, s, b adalah hue, saturation, dan brightness

6. Penerapan Matriks dalam Kriptografi

Di dalam dunia spionase dan militer pesan-pesan yang dikirim seringkali ditulis dengan menggunakan kode-kode rahasia. Hanya penerima yang sah yang memiliki kuncinya sehingga dapat membuka sandi itu. Tulisan rahasia semacam ini biasa disebut kriptogram. Seandainya pesan tersebut jatuh ke tangan lawan, rahasia akan tetap terjamin jika lawan gagal mendapatkan kuncinya. Oleh sebab itu makin rumit kriptogram itu makin disukai penggunaannya. Pemakaian bilangan sebagai pengganti abjad kerap dijumpai dalam kriptografi. Salah satu cara penggunaannya adalah dalam bentuk matriks. Mengapa matriks? Matriks memiliki operasi perkalian yang melibatkan beberapa elemennya sekaligus, sehingga penyidikan terhadap kunci sandinya yang juga berbentuk matriks mustahil dilakukan. Berikut ini contoh pesan dalam bentuk matriks S yang dikirimkan oleh markas besar angkatan bersenjata kepada pasukannya di garis depan. Panglima pasukan di garis depan memiliki kunci sandinya berupa matriks K. Begitu diterima, pesan itu langsung diterjemahkan dengan mengalikannya dengan matriks kunci. Tentu saja perkalian dengan K ini harus dilakukan dari belakang karena matriks S berorde 5 ´ 3 sedangkan K berorde 3 ´ 3. Hasil kalinya adalah matriks P. Konversi bilangan ke abjad menggunakan cara yang sederhana sekali yaitu 1 = A sampai 6 = Z, tetapi masih menggunakan apa yang disebut sebagai modulus 29. Bilangan 47 pada baris 1 kolom 3 harus dikurangi 29 dulu sebelum dikonversikan ke abjad. Semua bilangan yang tidak berada dalam range 1-26 harus ditambah atau dikurangi dengan kelipatan 29. Dari konteks kalimatnya 2 bilangan terakhir tidak perlu dikonversikan, lagipula bilangan 0 memang tidak dapat dikonversikan. Jadi pesan dari markas besar berbunyi : SERBU BESOK JAM 10.

Sekarang mari kita lihat bagaimana pesan abjad pada matriks P diubah ke dalam matriks S sebelum dikirimkan. Tentu saja di sini berlaku operasi matriks, P.K-1 = S.K.K-1, S = P.K-1

Matriks K-1adalah invers matriks K, matriks inilah yang dipakai si pengirim untuk membuat kriptogramnya. Jadi K dan K-1adalah sepasang matriks kunci yang memang diberikan kepada mereka yang berhak. Dengan mudah anda dapat mencari K-1.

Perkalian biasa antara P dan K-1 jelas akan menghasilkan bilangan yang besar-besar pada matriks hasil perkaliannya. Oleh sebab iu dipakai teknik modulus 29 di atas. Bagi si pengirim, semua bilangan pada P yang lebih besar daripada 15 terlebih dulu dikurangi dengan 29, P menjadi P’. Kemudian P’ ini yang dikalikan dengan K-1 menghasilkan S’.Bilangan besar-besar yang ada di S‘ sekali lagi dikenali modulus 29 supaya lebih enak dilihat, maka muncullah matriks S yang dikirimkan tadi. Terasa sekali bahwa aplikasi matriks dalam hal ini sangat efektif.

7. Bidang Pendidikan

a. Meningkatkan minat baca. Percayakah anda bahwa mempelajari Aljabar Linear dapat meningkatkan minat baca? Baiklah sedikit penjelasan tentang itu, ketika kita mempelajari kalkulus maka secara alamiah kita akan mengalami banyak kesulitan-kesulitan, nah berangkat dari sinilah kalimat di atas muncul. Dengan kata lain bahwa kesulitan yang kita dapat akan memberikan makna tersendiri karena dengan itu semua maka rasa penasaran yang mendalam akan muncul. Oleh karena itu, ketika kita merasakan penasaran maka secara otomatis akan ada usaha dari dalam diri kita untuk melakukan hal-hal yang dapat membantu menghilangkan rasa penasaran itu dan salah satunya adalah banyak membaca buku kalkulus, jadi kita akan membaca terus buku itu sampai kita mengerti dan dapat menghilangkan rasa penasaran. Sehingga kerana kebiasaan membaca buku itulah jadi akan tertanam dalam diri kita hobi membaca itu.

b. Lebih Dewasa. Penjelasan untuk yang satu ini hampir sama dengan penjelasan dari segi keagamaan. Jadi ketika kita mempelajari Aljabar Linear kita selalu dituntut untuk dapat mancari cara terbaik untuk mengerjakan soal, karena jika salah cara dalam mengerjkannya, maka akan banyak kesulitan yang menghampiri kita. Sehingga berangkat dari hal itulah secara tidak langsung mempelajari Aljabar Linear dapat membuat kita lebih dewasa untuk memandang kehidupan karena jika kita salah jalan maka kita akan rugi sendiri.

c. Meningkatkan gairah belajar. Dalam hal ini, sepertinya sudah sangatlah jelas bahwa mempelajari Aljabar Linear dapat meningkatkan minta/gairah belajar pada diri seseorang. Sebagi penjelasan, ketika kita mempelajari kalkulus dan mendapatkan kesulitan yang secara lamiah muncul, jika kita menyadarinya (sadar) maka akan timbul dalam hati kita suatu kata hati “mengapa saya tidak bisa ya, padahal yang lain bisa”, sehingga dengan demikian akan muncul usaha yang kita lakukan untuk lebih baik dan yang pastikan dengan selalu belajar (mempelajarinya).

d. Meningkatkan kreatifitas dalam komunikasi. Dalam hal ini yang dimaksudkan meningkatkan kreatifitas dalam komunikasi adalah lebih kepada sang pendidik. Dalam memberikan materi yang diajarkan dalam kalkulus seorang pendidik dituntut untuk lebih kreatif lagi dalam menyampaikan materi yang akan disampaikan hal ini dikarenakan tingkat kesulitan kalkulus yang menurut rata-rata pelajar adalah cukup tinggi sehingga seorang pendidik dalam menyampaikan diharuskan untuk dapat membuat suasana lebih mengasyikan dan salah satu caranya adalah seorang pendidik diharuskan memiliki keaktifan dalam komunikasi atau singkatnya seorang pendidik harus lebih kreatif dalam menyampaikan materi ajarnya.

e. Mempertajam daya imajinasi berpikir. Pembelajaran Aljabar Linear yang butuh waktu cukup banyak dalam berpikiir tentunya akan mempertajam imajinadsi kita dalam mencari alternatife solusi sebuah permasalahan. Dalam Aljabar Linear terkadang satusoal terdapat berbagai cara untuk mencari sebuah solusi, baik cara cepat maupun sistematis. Begitu juga dalam pemecahan nmasalah keseharian, terkadang kita harus memainkan imajinasi kita untuk berangan-angan mencari berbagai sulusi yang tepat dan efisien.

8. Bidang Sosial

Salah satu manfaat mempelajari Aljabar Linear dalam kehidupan sosial adalah mempererat silaturahmi antar individu. Di atas sudah dijelaskan bahwa ketika kita mempelajari Aljabar Linear maka sudah secara alamiah kita akan banyak mengalami kesulitan, sehingga dari hal ini pula (dengan ketidaktahuan) maka kita akan selalu bertanya kepada teman yang lebih tahu daripada kita, sehingga akan terjalin suatu komunikasi antara kita dengan teman yang kita tanya tadi sebagai proses keakraban. Dari sini sudah jelas akan terjalin suatu hubungan yang akrab dan dapat mempererat silaturahmi antar individu tersebut. Lalu manfaat lain Aljabar Linear dalam bidang sosial selain mempererat silahturahmi antar individu adalah dalam aplikasi lansung dalam masyarakat, misalkan penerapan dalam penghitungan warisan, zakat dan sebagainya.

9. Bidang Politik

Selain dari bidang- bidang di atas, ternyata mempelajari Aljabar Linear pun memberikan manfaat dalam bidang politik bagi yang mempelajarinya. Jika kita mendengar kata politik maka sudah tentu yang terbesit dalam hal yang kotor yang berbau siasat namun perlu kita pahami bahwa tak semuanya politik itu kotor. Untuk bidang politik yang akan kita ambil adalah manfaat Aljabar Linear dalam merencanakan suatu siasat. Dengan mempelajari Aljabar Linear maka kita diajarkan untuk dapat mensiasati soal-soal yang sulit untuk dikerjakan agar menjadi lebih mudah dalam pengerjaannya sehingga kita harus melakukan segala cara untuk bisa mensiasatinya. Jadi memang ada benarnya jika mempelajari Aljabar Linear maka kitapun akan mendapatkan manfaatnya dalam bidang politik.

Aljabar Linear adalah ilmu yang sangat berguna/bermanfaat, dengan mempelajari Aljabar Linear banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan. Oleh karena itu, sudah sepantasnya mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap Aljabar Linear. Kita ubah pandangan kita yang menganggap Aljabar Linear adalah pelajaran yang sulit dan hanya membuat kepala pusing dengan menganggap Aljabar Linear adalah pelajaran yang mengasyikan dan menyenangkan. Seperti yang telah dijelaskan dalam pembahasan, manfaat lain selain mahir menghitung, lebih teliti dari mempelajari Aljabar Linear antara lain: menambah pemahaman dalam menjalani hidup, lebih berhati-hati dalam memutuskan suatu hal (adil), meningkatkan minat baca, meningkatkan semangat belajar, jadi lebih dewasa, mempererat silaturahmi antar individu dan masih banyak lagi yang lainnya seperti: meningkatkan kesabaran, istiqhamah. Oleh karena itu, Aljabar Linear itu asyik jadi jangan anggap Aljabar Linear itu seekor monster yang menyeramkan dan ganas.

C. HUBUNGAN ALJABAR LINIER DENGAN TUHAN YME

Jika kita berbicara tentang Tuhan dan Ilmu (Aljabar linier). Ingatlah bahwa kita hanyalah makhluk yang lemah (dho’if) dihadapan-Nya. Aljabar linier yang kita anggap sangat sulit itu, hanyalah sebagian kecil dari ilmu yang Tuhan berikan kepada kita manusia ciptaan-Nya. Sebagian kecil itu saja kita tidak 100% dapat menguasainya dengan sempurna, apa lagi ilmu-ilmu tuhan yang lain.

Dalam aljabra linier, ketika kita menggambarkan suatu persamaan linier, kita menggambarkannya pada sumbu kartesius. Dimana ada seorang filsuf yang mengartikan makna dari vektor dua arah: Arah x = berarti kita harus baik dalam hubungan sesama manusia. Arah y = berarti kita harus baik dalam hubungan kepada Tuhan.

PENUTUP

A. Simpulan

B. Saran

1. Bagi Calon Guru

Semoga makalah ini bisa berguna untuk rekan- rekan mahasiswa semuanya sebagai bahan pertimbangan atau sebagai contoh dalam pembuatan makalah.

2. Bagi Dosen

Semoga makalah yang kami buat bisa menjadi pertimbangan bagi dosen dalam memberikan materi kepada mahasiswanya dalam penyampaian aplikasi Aljabar Linear dalam kehidupan sehari- hari, khususnya bagi Dosen Mata Kuliah Aljabar Linear II.

3. Bagi Lembaga Sekolah

Semoga dapat mendidik dan menciptakan tenaga kependidikan yang kompeten dan mampu memahami perkembangn global di kancah Internasional.